隨機過程最明顯的特點是非周期性，瞬時值無法預測；但并非無規律可言，而是表現出統計規律性。因此，對隨機信號的研究處理和分析必須用統計的方法來進行。對某一隨機過程，通常用下列四個方面的信息來描述它：

時域：有平均值、均方值、均方根值、方差等；

幅值域：有概率分布、概率密度等；

時差域：有自相關函數、互相關函數；

頻率域：有自功率譜密度、互功率譜密度、頻率響應函數以及相干函數。

隨機過程有平衡的和非平穩的；有各態歷經的和非各態歷經的；有正態分布的和非正態分布的。在隨機振動試驗的范疇內，通常假定為平穩的、各態歷經的，并且是正態分布的。所以，本文的敘述都是從這一假定出發的。

時域信息

1. 平均值

它描述一隨機變量或一組數據的平均狀態。在數理統計和概率論中，此值稱為數學期望，表示隨機變量的位置特性。其數學表達式為：

在隨機振動理論中，通常將平均值取為零，所以在隨機振動試驗中此值不常用。

2. 方均值

在隨機振動試驗中，方均值表示試驗能量的大小，由于平均值取為零，故方均值就是方差，它描述一隨機變量或一組數據在平均值周圍的分散性，即在平均值上下的波動大小。其數學表達式為：

3. 方均根值

它描述一隨機變量或一組數據在平均值周圍的集中程度。在隨機振動理論中，由于將平均值取為零，所以方均根值就是標準偏差。其數學表達式為：

此值在隨機振動試驗中表示有效幅值的大小。

幅值域信息

1. 幅值的概率分布

幅值的概率分布是描述隨機振動瞬時幅值低于某一特定值的概率，它與幅值概率密度一道描述了隨機振動瞬時幅值大小的分布規律。典型的幅值概率分布曲線如圖1所示。

圖1 幅值的概率分布曲線

由圖1可見，P(x) 是幅值x 的函數。幅值小于X1 的概率為P(X1)，幅值趨于正無窮大的概率P(+∞)≤1，幅值趨于負無窮大的概率P(-∞)≥0，所以幅值的概率分布范圍為0≤P(X )≤1，該分布主要用于對隨機信號的分析和研究中，而在隨機振動試驗中不常用。

2. 幅值的概率密度

幅值的概率密度表示隨機振動瞬時幅值落在某一區間內的概率。在隨機振動試驗中，幅值的概率密度曲線為正態分布曲線，并且平均值為零。為了分析方便，通常還將標準偏差σ 規范化為1。其數學表達方式為：

幅值的概率密度曲線如圖2所示。

圖2 正態分布概率密度曲線

由圖2可見，概率密度曲線下的面積為1，所以通過概率密度曲線就很容易知道某瞬時幅值出現的概率，例如瞬間幅值為圖2中的-(X+△X ) 的概率，就是概率密度曲線下那個長方條的面積。同時由圖2還可以看出，隨機振動的瞬間值大于3倍方均根值 (+3ms) 和小于3倍方均根值 (-3rms) 出現的概率非常小，約占0.26℅。在+3rms 和-3rms 之間出現的概率十分大，約占99.74%，這就是通常把3rms 值作為隨機振動試驗最大幅值的依據。當用磁記錄儀和數據采集器記錄隨機振動信號時，要保證3rms 的瞬間幅值不削波。另外，隨機疲勞計算時的最大加速度量級也是以3rms 值為依據的。rms 值就是標準偏差σ 值，當將標準偏差σ 規范化為1時，則這里的3rms 均表達為3σ。

時差域信息

上述的平均值、方均值、方均根值、幅值的概率分布、幅值的概率密度充分描述了隨機振動在時域和幅值域中的各種信息，但沒有給出頻率含量與時間歷程之間的信息。這些信息是在自相關函數和互相關函數中給出。

1. 自相關函數

隨機過程X(t) 的自相關函數定義為在時刻t 和時刻t+τ 的隨機變量乘積的平均值，τ 是時移，當平均時間T→∞時，平均值的極限便是自相關函數，其數學表達式為：

自相關函數描述了隨機信號在特定時刻的瞬時值如何取決于先前出現的瞬時值。它反映了隨機信號本身在不同時刻的相互關系，即間隔時間兩側的隨機信號的相互依賴關系，從而在時差域上建立任何時刻的隨機量值對未來量值的影響。

自相關函數可以用來判別是否為寬帶隨機信號，這是因為對于寬帶隨機信號來說，當時移τ 非常小時，x(t) 和x(t+τ) 相差很小的概率很大，這時Rx(τ→0) 值非常大，表示關系密切。特別當τ=0時，Rx(τ=0) 值最大，等于方均值，表示完全相關。當時移τ 較大時，x(t) 和x(t+τ) 相差很小的概率很小。作平均計算正負對消，Rx(τ) 值很小。并且隨著τ 值的增大，Rx(τ→∞) 值很快衰減到零，表示x(t) 和x(t+τ) 之間沒有依賴關系，說明對一般的隨機振動時間間隔很遠的二個隨機量之間不存在任何固定關系。寬帶隨機信號的自相關函數如圖3所示。

圖3 寬帶隨機的自相關函數

自相關函數可以把隨機信號中的周期成份檢測出來，這是因為任何周期信號在所有的時移上都有一定形狀的自相關函數圖形。例如正弦波的自相關函數為余弦形函數，在所有的時移上具有與正弦波一樣的周期（相位角信息消失了）。所以對周期信號來說，因為它經過一個周期后又精確的重復過去的時間歷程，因此當時移超過該周期時，其自相關函數必然重復前一段的形狀。所以若在自相關函數圖上發現時移趨于無窮大，Rx(∞)≠0，而有某種周期性，則說明該隨機振動信號混有周期信號成分。

自相關函數通過傅里葉轉換可以得到自功率譜密度，用這種方法易于測量和分析，所以它是隨機振動試驗的基礎與基本參數。

2. 互相關函數

互相關函數表示一隨機振動信號x(t) 在t 時刻的值和另一隨機振動信號y(t+τ) 時刻值乘積的平均值，它與自相關函數一樣，同樣是時移的函數。它表示了二個隨機振動信號之間的依賴性。互相關函數的數學表達式：

在隨機振動試驗中，利用互相關函數，可以確定一隨機振動信號通過一給定系統所需的時間。因為信號在系統中的時間滯后值，可以通過輸入和輸出的互相關函數中的峰值位置來確定。互相關函數最大值偏離坐標中心位置的時間坐標移動值，就是信號通過系統的所需時間。如果一線性系統的輸入通過幾個通道輸出，利用互相關函數的時移，可以確定那個通道的傳輸是主要的。互相關函數通過傅里葉轉換可以得到互功率譜密度。

頻率域信息

1. 自功率譜密度

功率譜密度是描述隨機振動信號各頻率分量所包含的功率，在頻率域是如何分布的，是隨機振動在頻率域上的一種統計特性。

在正弦振動試驗中，振動的頻率和幅值都是確定的，所以振動的功率（能量）是很清楚的，也是很好計算的。而隨機振動由于振動的時間歷程是明顯的非周期性，所以必須用功率譜密度（方均譜密度）來計算。

隨機振動信號可以看作由無限多個簡諧運動組成，因此隨機振動信號的功率譜便是在給定頻率范圍內簡諧振動功率之和。簡諧振動的功率正比于幅值的平方，所以在指定頻率上，隨機振動信號的功率譜密度為

上式可見，在指定頻率上的功率譜密度就是信號在Δf 中的方均方值的平均值。理想的情況是，平均時間無限長，濾波器的帶寬無限窄，這實際是不可能的，因此通常是用有限平均時間和有限帶寬，這樣（方均值/單位間隔頻率，故也稱方

功率譜密度在頻率范圍內的變化形式，即功率譜密度對頻率的圖型，稱功率譜密度的頻譜。功率譜密度的頻譜還可以這樣理解：如果將隨機振動信號分割成許多小頻帶Δf，并在每個頻帶上測出方均加速度值，然后除以Δf，并令Δf→0，這時所得的函數稱功率譜密度的頻譜。由于功率譜密度的單位為g2/Hz，即每單位頻率上的加速度值的平方，所以在隨機振動試驗中又稱加速度譜密度，功率譜密度的頻譜又稱加速度譜密度的頻譜。功率譜密度（加速度譜密度）的單位由g2/Hz 和m2/s?/Hz 二種表達形式，它們之間的關系為100倍的關系，即1g2/Hz=100m2/s?/Hz。

功率譜密度除用作提供頻率域的信息外，還可以用來分析產品的動態特性、研究疲勞損傷、判別共振等。例如，通過功率譜密度可以判明安裝在運載工具上使用的產品所經受到的諸多振動中，哪一種是主要的，哪一種是可以忽略的，從且易于對產品進行設計改進。

2. 互功率譜密度

互功率譜密度描述兩隨機振動過程之間的頻率信息，它不僅能提供按頻率分布的能量大小，還能提供二信號之間的相互關系。從互功率譜密度中，我們可以得到系統的頻響函數，可以確定振動響應與對其激勵的時間關系。

上面介紹了如何用時域、幅值域、時差域和頻率域的信號描述隨機振動。而當前在試驗內模擬現場隨機振動，重現的主要是現場隨機振動的有效頻率成份（頻率范圍）、功率譜密度（加速度譜密度）、總均方根加速度，即保證這三個參數來自現場振動。但在具體進行隨機振動時，振動臺面的運動仍是隨機振動的時間歷程，該時間歷程應該是現場隨機振動時間歷程的典型代表等。